[IVA] Chapter 1, Section 4, Exercise 1, 7, 13

Exercise 4-1
a)

$$ x^2 + y^2 -1 = 0 \;\;\; (1)$$
$$ xy -1 = 0 \;\;\; (2)$$

$$y = \frac{1}{x}$$ より$$ x^2 + \frac{1}{x^2} - 1 = 0$$
よって $ x^4 - x^2 + 1 = 0$

b)

$(1) \times x^2 - (2) \times (xy+1) = x^4+x^2y^2-x^2 - x^2y-2 + 1 = x^4 - x^2 + 1 = 0$

Exercise 4-7 任意の$n,m$ に対して $\mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) = \langle x,y \rangle$ を示せ。

$$\mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) = \left\{ f \in k[x,y] \;|\; f(a_1,a_2)=0 for \forall (a_1,a_2) \in \mathbf{V}(x^n, y^m) \right\}$$
$k$ は体であるから $a_1^n = 0, \; a_2^m = 0$ iff $a_1=a_2=0$
よって

$$\mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) = \left\{ f \in k[x,y] \;|\; f(0, 0) = 0 \right\}$$

$\forall f \in \langle a,y \rangle$ を取る。$f(x,y) = h_1(x,y) x + h_2(x,y) y$ と書け $f(0,0) = 0$ となるから $f \in \mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m))$ よって $ \mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) \supset  \langle a,y \rangle$

逆に $\forall f \in \mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m))$ を取る。$f(0,0)=0$ である。
$$f = \sum_{i,j=0}^{n_x,n_y} a_{ij} x^i y^j$$
と書くと、$f(0,0)=0$ より $a_{00} = 0$
すると
$$f = (\sum_{i>0}a_{ij} x^{i-1}y^j)x + (\sum_j a_{0j}y^{j-1})y$$
と書けるゆえ、$ f \in \langle x,y \rangle$ よって $ \mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) \subset  \langle x,y \rangle$

故に　$ \mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) =  \langle x,y \rangle$

Exercise 4-13
$I \subset \mathbb{F}_2[x,y]$ を $\mathbb{F}_2^2$ 上のすべての点で零となる多項式のイデアルとする。

a. $\langle x^2-x, y^2-y \rangle \subset I$ を示せ。

$\langle x^2-x, y^2-y \rangle$ がイデアルであることを示すのは省略。
$\forall f \in \langle x^2-x, y^2-y \rangle$ を取ると、
$f = h_1 (x^2-x) + h_2(y^2-y)$ となる $h_1, h_2 \in \mathbb{F}_2[x,y]$ が存在する。
任意の $\forall a = (a_1,a_2) \in \mathbb{F}_2^2$ に対して
$f(a) = h_1(a)(a_1^2-a_1) + h_2(a)(a_2^2-a_2) = 0$ より$f \in I$
よって $\langle x^2-x, y^2-y \rangle \subset I$

b.任意の$f \in \mathbb{F}_2[x,y]$ に対して $f = A(x^2-x) + B(y^2-y) + axy+bx+cy+d$ と書けることを示せ。

$\forall f \in \mathbb{F}_2[x,y]$ を取る。$y$ の次数で整理して
$$f = \sum_i p_i(x) y^i$$
と書ける。ここで $y^2=(y^2-y) + y$, $y^3=(y+1)(y^2-y) + y$ の様に書けるから
$f = B(y^2-y) + p(x)y + q(x)$ と変形出来る。
更に $p(x), q(x)$ にも同様の変形を行うと
$p(x)y = (A_p(x^2-x) + p_1 x + p_0)y$, $q(x) = A_q(x^2-x) + q_1x+q_0$ と書けるから整理すれば
$f = A(x^2-x) + B(y^2-y) + axy+bx+cy+d$ と書ける。

c. $axy + bx + cy + d \in I$ iff $a=b=c=d=0$ を示せ。

$x=y=0$ を代入して$d = 0$
$x=0, y=1$ を代入して $c=0$
$x=1, y=0$ を代入して $b=0$
$a=y=1$ を代入して $a=0$

d.  $\langle x^2-x, y^2-y \rangle \supset I$ を示せ。（a と合わせて  $\langle x^2-x, y^2-y \rangle = I$）

任意の $f \in \mathbb{F}_2[x,y]$ に対して b より $f = A(x^2-x) + B(y^2-y) + axy+bx+cy+d$ と書ける。そして $f \in I$ とすると c より$a=b=c=d=0$。
従って $f = A(x^2-x) + B(y^2-y)$ と書けるゆえ $f \in \langle x^2-x, y^2-y \rangle$
よって$I \subset \langle x^2-x, y^2-y \rangle$

e.

$x^2y+xy^2 = y(x^2-x) + x(y^2-y) + 2xy =  y(x^2-x) + x(y^2-y) \in  \langle x^2-x, y^2-y \rangle$