[IVA] Chapter 1, Section 2

Exercise 3.

$\mathbf{V}(x^2+y^2-4) \cap \mathbf{V}(xy-1)$ を描け。

$x^2+y^2-4 = 0$ ゆえ $x^2 + y ^2 = 2^2$。よって前者は中心 $(0,0)$ 半径 $2$ の円。
$xy -1 = 0$ ゆえ $y = \frac{1}{x}$。よって後者は軸が $x=0, \; y=0$ である双曲線。
この交わりは有限個の点の集合。

交点の座標は $y = \frac{1}{x}$ を $x^2 + y^2 -4 = 0$ に代入して解けば良い。
$ x^2 - 4 + \frac{1}{x^2} = 0 $ より $x^2 = 2 \pm \sqrt{3}$。
対応する$y$ は $y^2 = \frac{1}{x^2} = 2 \mp \sqrt{3}$。
$$\sqrt{2\pm\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$$
であるから、

$$\begin{eqnarray}
(x,y) &=& \left( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},  \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right), \\
& & \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},  \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right), \\
& & \left( -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},  -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right), \\
& & \left( -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},  -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)
\end{eqnarray}$$

Exercise 9.

$R$ が $\mathbb{R}[x,y]$ の多項式 $f_1, \cdots, f_s$ を用いて $\mathbf{V}(f_1, \cdots, f_s)$ と書けたと仮定する。
任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して $g(y) = f_1(a,y)$ とする。
$R$ は上半平面であるから $g(1) = g(2) = \cdots = 0$ と、$g(y)=0$ は無限個の$y$に対して$0$になるため $g=0$ でなくてはならないが、下半平面の点 $(a,-1) \notin R$ について考えると、$g(-1) \neq 0 $ となって矛盾。
よってそのような $f_1$ は存在しない。

Exersise 15.

a) $V_i ; (1 \leq i \leq n)$ をvariety とする。$n=1$ のとき、
$$ \bigcup_{i=1}^n V_i = \bigcap_{i=1}^n V_i = V_1$$
ゆえ、variety である。$n$ まで成立するとして $n+1$ の場合に対して、
$$\bigcup_{i=1}^{n+1}V_i  = \left( \bigcup_{i=1}^{n} \right) \cup V_{n+1},$$

$$\bigcap_{i=1}^{n+1} V_i = \left( \bigcap_{i=1}^{n} \right) \cap V_{n+1}$$
ゆえ、$n+1$ 個の variety の 結び、交わりは variety である。
よって数学的帰納法により成立。

b) $a \in \mathbb{R}$ に対して $V_a = \left\{(x,a) \; | \; x \in \mathbb{R} \right\} = \mathbb{V}(y-a)$ は variety。このとき
$$ V = \bigcup_{a>0}V_a$$
を考えると $V$ は Exercise 9. の上半平面 $R$ に等しいが $R$ は variety ではない。

c) $V = \mathbf{V}(x-y), \; W = \mathbf{V}( (x-1)^2 + (y-1)^2 )$ と定義すると
$V - W = \left\{(x,x) \;|\; x \in \mathbb{R}, \; x \neq 1\right\}$
これは Exercise 10 より variety ではない。

d) $f_1, \cdots, f_s \in k[x_1, \cdots, x_n]$ の各 $f_i$ は $f_i \in k[x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_m]$ と看做す事が出来る。$g_1, \cdots, g_t \in k[y_1, \cdots, y_m]$ についても同様。
このとき、$\mathbf{V}(f_1, \cdots, f_s, g_1, \cdots, g_s)$ を考えると、

$$(x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_m) \in \mathbf{V}(f_1, \cdots, f_s, g_1, \cdots, g_s)$$
if and only if
$$f_i(x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_m) = g(x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_m)) = 0$$

であるから、$V \times W = \mathbf{V}(f_1, \cdots, f_s, g_1, \cdots, g_s)$