[IVA] Chaper 1, Section 3, Exercise 1, 7, 13

Exercise 1.
$$\begin{eqnarray} x + 2y - 2z + w & = & -1 \\ x + y + z - w & = & 2 \end{eqnarray}$$
変形して
$$\begin{eqnarray} x + 2y & = & -2z - w - 1 \\ x + y & = & -z + w + 2 \end{eqnarray}$$

解いて

$$\begin{eqnarray} x & = & -4z + 3w + 5 \\ y & = & 3z - 2w - 3 \end{eqnarray}$$

Exercise 7.
$\mathbb{R}^n$ の$x_n$軸上の点 $(0, \cdots, 0, 1)$ から $x_1 \cdots x_{n-1}$ 超平面上の点 $(u_1, \cdots, u_{n-1}, 0)$ を通る様に伸ばした直線と、超球面 $x_1^2 + \cdots x_n^2 = 1$ との交点の座標を求めると、
$$\begin{eqnarray} x_i &=& \frac{u_i}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}t \;\; (1 \leq i \leq n-1) \\ x_n &=& \frac{-1}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}t + 1 \end{eqnarray}$$
解いて $t=0, 2$ だが前者は自明な解であり、求めるものは後者。よって
$$\begin{eqnarray} x_i &=& \frac{2 u_i}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1} \;\; (1 \leq i \leq n-1) \\ x_n &=& \frac{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 - 1}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1} \end{eqnarray}$$

Exercise 13.

$$x = 1 + u - v$$

$$y = u + 2v$$

$$z = -1 -u + v$$

整頓して

$$(x,y,z) = (1,0,-1) + u(1,1,-1) + v(-1,2,1)$$

$$(1,1,-1) \times (-1,2,1)  = (3, 0, 3)$$

よって求める平面の法線ベクトルは $(3,0,3)$ に平行な $(1,0,1)$ と取れば良く、点$(1,0,-1)$ を通るため、求める方程式は $x-z=2$