[IVA] Chapter 1, Section 4, Exercise 1, 7, 13

Exercise 4-1
a)

$$ x^2 + y^2 -1 = 0 \;\;\; (1)$$
$$ xy -1 = 0 \;\;\; (2)$$

$$y = \frac{1}{x}$$ より$$ x^2 + \frac{1}{x^2} - 1 = 0$$
よって $ x^4 - x^2 + 1 = 0$

b)

$(1) \times x^2 - (2) \times (xy+1) = x^4+x^2y^2-x^2 - x^2y-2 + 1 = x^4 - x^2 + 1 = 0$

Exercise 4-7 任意の$n,m$ に対して $\mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) = \langle x,y \rangle$ を示せ。

$$\mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) = \left\{ f \in k[x,y] \;|\; f(a_1,a_2)=0 for \forall (a_1,a_2) \in \mathbf{V}(x^n, y^m) \right\}$$
$k$ は体であるから $a_1^n = 0, \; a_2^m = 0$ iff $a_1=a_2=0$
よって

$$\mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) = \left\{ f \in k[x,y] \;|\; f(0, 0) = 0 \right\}$$

$\forall f \in \langle a,y \rangle$ を取る。$f(x,y) = h_1(x,y) x + h_2(x,y) y$ と書け $f(0,0) = 0$ となるから $f \in \mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m))$ よって $ \mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) \supset  \langle a,y \rangle$

逆に $\forall f \in \mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m))$ を取る。$f(0,0)=0$ である。
$$f = \sum_{i,j=0}^{n_x,n_y} a_{ij} x^i y^j$$
と書くと、$f(0,0)=0$ より $a_{00} = 0$
すると
$$f = (\sum_{i>0}a_{ij} x^{i-1}y^j)x + (\sum_j a_{0j}y^{j-1})y$$
と書けるゆえ、$ f \in \langle x,y \rangle$ よって $ \mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) \subset  \langle x,y \rangle$

故に　$ \mathbf{I}(\mathbf{V}(x^n, y^m)) =  \langle x,y \rangle$

Exercise 4-13
$I \subset \mathbb{F}_2[x,y]$ を $\mathbb{F}_2^2$ 上のすべての点で零となる多項式のイデアルとする。

a. $\langle x^2-x, y^2-y \rangle \subset I$ を示せ。

$\langle x^2-x, y^2-y \rangle$ がイデアルであることを示すのは省略。
$\forall f \in \langle x^2-x, y^2-y \rangle$ を取ると、
$f = h_1 (x^2-x) + h_2(y^2-y)$ となる $h_1, h_2 \in \mathbb{F}_2[x,y]$ が存在する。
任意の $\forall a = (a_1,a_2) \in \mathbb{F}_2^2$ に対して
$f(a) = h_1(a)(a_1^2-a_1) + h_2(a)(a_2^2-a_2) = 0$ より$f \in I$
よって $\langle x^2-x, y^2-y \rangle \subset I$

b.任意の$f \in \mathbb{F}_2[x,y]$ に対して $f = A(x^2-x) + B(y^2-y) + axy+bx+cy+d$ と書けることを示せ。

$\forall f \in \mathbb{F}_2[x,y]$ を取る。$y$ の次数で整理して
$$f = \sum_i p_i(x) y^i$$
と書ける。ここで $y^2=(y^2-y) + y$, $y^3=(y+1)(y^2-y) + y$ の様に書けるから
$f = B(y^2-y) + p(x)y + q(x)$ と変形出来る。
更に $p(x), q(x)$ にも同様の変形を行うと
$p(x)y = (A_p(x^2-x) + p_1 x + p_0)y$, $q(x) = A_q(x^2-x) + q_1x+q_0$ と書けるから整理すれば
$f = A(x^2-x) + B(y^2-y) + axy+bx+cy+d$ と書ける。

c. $axy + bx + cy + d \in I$ iff $a=b=c=d=0$ を示せ。

$x=y=0$ を代入して$d = 0$
$x=0, y=1$ を代入して $c=0$
$x=1, y=0$ を代入して $b=0$
$a=y=1$ を代入して $a=0$

d.  $\langle x^2-x, y^2-y \rangle \supset I$ を示せ。（a と合わせて  $\langle x^2-x, y^2-y \rangle = I$）

任意の $f \in \mathbb{F}_2[x,y]$ に対して b より $f = A(x^2-x) + B(y^2-y) + axy+bx+cy+d$ と書ける。そして $f \in I$ とすると c より$a=b=c=d=0$。
従って $f = A(x^2-x) + B(y^2-y)$ と書けるゆえ $f \in \langle x^2-x, y^2-y \rangle$
よって$I \subset \langle x^2-x, y^2-y \rangle$

e.

$x^2y+xy^2 = y(x^2-x) + x(y^2-y) + 2xy =  y(x^2-x) + x(y^2-y) \in  \langle x^2-x, y^2-y \rangle$

[IVA] Chaper 1, Section 3, Exercise 1, 7, 13

Exercise 1.
\begin{eqnarray}
x + 2y - 2z + w & = & -1 \\
x + y + z - w & = & 2
\end{eqnarray}
変形して
\begin{eqnarray}
x + 2y & = & -2z - w - 1 \\
x + y & = & -z + w + 2
\end{eqnarray}

解いて

\begin{eqnarray}
x & = & -4z + 3w + 5 \\
y & = & 3z - 2w - 3
\end{eqnarray}

Exercise 7.
$\mathbb{R}^n$ の$x_n$軸上の点 $(0, \cdots, 0, 1)$ から $x_1 \cdots x_{n-1}$ 超平面上の点 $(u_1, \cdots, u_{n-1}, 0)$ を通る様に伸ばした直線と、超球面 $x_1^2 + \cdots x_n^2 = 1$ との交点の座標を求めると、
\begin{eqnarray}
x_i &=& \frac{u_i}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}t \;\; (1 \leq i \leq n-1) \\
x_n &=& \frac{-1}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}t + 1
\end{eqnarray}
解いて $t=0, 2$ だが前者は自明な解であり、求めるものは後者。よって
\begin{eqnarray}
x_i &=& \frac{2 u_i}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1} \;\; (1 \leq i \leq n-1) \\
x_n &=& \frac{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 - 1}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}
\end{eqnarray}

Exercise 13.

$$x = 1 + u - v$$

$$y = u + 2v$$

$$z = -1 -u + v$$

整頓して

$$(x,y,z) = (1,0,-1) + u(1,1,-1) + v(-1,2,1)$$

$$(1,1,-1) \times (-1,2,1)  = (3, 0, 3)$$

よって求める平面の法線ベクトルは $(3,0,3)$ に平行な $(1,0,1)$ と取れば良く、点$(1,0,-1)$ を通るため、求める方程式は $x-z=2$

[IVA] Chapter 1, Section 2

Exercise 3.

$\mathbf{V}(x^2+y^2-4) \cap \mathbf{V}(xy-1)$ を描け。

$x^2+y^2-4 = 0$ ゆえ $x^2 + y ^2 = 2^2$。よって前者は中心 $(0,0)$ 半径 $2$ の円。
$xy -1 = 0$ ゆえ $y = \frac{1}{x}$。よって後者は軸が $x=0, \; y=0$ である双曲線。
この交わりは有限個の点の集合。

交点の座標は $y = \frac{1}{x}$ を $x^2 + y^2 -4 = 0$ に代入して解けば良い。
$ x^2 - 4 + \frac{1}{x^2} = 0 $ より $x^2 = 2 \pm \sqrt{3}$。
対応する$y$ は $y^2 = \frac{1}{x^2} = 2 \mp \sqrt{3}$。
$$\sqrt{2\pm\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{2}$$
であるから、

$$\begin{eqnarray}
(x,y) &=& \left( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},  \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right), \\
& & \left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},  \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right), \\
& & \left( -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},  -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right), \\
& & \left( -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},  -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)
\end{eqnarray}$$

Exercise 9.

$R$ が $\mathbb{R}[x,y]$ の多項式 $f_1, \cdots, f_s$ を用いて $\mathbf{V}(f_1, \cdots, f_s)$ と書けたと仮定する。
任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して $g(y) = f_1(a,y)$ とする。
$R$ は上半平面であるから $g(1) = g(2) = \cdots = 0$ と、$g(y)=0$ は無限個の$y$に対して$0$になるため $g=0$ でなくてはならないが、下半平面の点 $(a,-1) \notin R$ について考えると、$g(-1) \neq 0 $ となって矛盾。
よってそのような $f_1$ は存在しない。

Exersise 15.

a) $V_i ; (1 \leq i \leq n)$ をvariety とする。$n=1$ のとき、
$$ \bigcup_{i=1}^n V_i = \bigcap_{i=1}^n V_i = V_1$$
ゆえ、variety である。$n$ まで成立するとして $n+1$ の場合に対して、
$$\bigcup_{i=1}^{n+1}V_i  = \left( \bigcup_{i=1}^{n} \right) \cup V_{n+1},$$

$$\bigcap_{i=1}^{n+1} V_i = \left( \bigcap_{i=1}^{n} \right) \cap V_{n+1}$$
ゆえ、$n+1$ 個の variety の 結び、交わりは variety である。
よって数学的帰納法により成立。

b) $a \in \mathbb{R}$ に対して $V_a = \left\{(x,a) \; | \; x \in \mathbb{R} \right\} = \mathbb{V}(y-a)$ は variety。このとき
$$ V = \bigcup_{a>0}V_a$$
を考えると $V$ は Exercise 9. の上半平面 $R$ に等しいが $R$ は variety ではない。

c) $V = \mathbf{V}(x-y), \; W = \mathbf{V}( (x-1)^2 + (y-1)^2 )$ と定義すると
$V - W = \left\{(x,x) \;|\; x \in \mathbb{R}, \; x \neq 1\right\}$
これは Exercise 10 より variety ではない。

d) $f_1, \cdots, f_s \in k[x_1, \cdots, x_n]$ の各 $f_i$ は $f_i \in k[x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_m]$ と看做す事が出来る。$g_1, \cdots, g_t \in k[y_1, \cdots, y_m]$ についても同様。
このとき、$\mathbf{V}(f_1, \cdots, f_s, g_1, \cdots, g_s)$ を考えると、

$$(x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_m) \in \mathbf{V}(f_1, \cdots, f_s, g_1, \cdots, g_s)$$
if and only if
$$f_i(x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_m) = g(x_1, \cdots, x_n, y_1, \cdots, y_m)) = 0$$

であるから、$V \times W = \mathbf{V}(f_1, \cdots, f_s, g_1, \cdots, g_s)$