[IVA] Chapter 2, Section 7, Exercise 7,13

Exercise 1.

計算問題故パス

Exersise 7.

monomial order を固定し、ideal $I$ のminimal Groebner base $G$, $\tilde{G}$ について、

a. LT($G$) = LT($\tilde{G}$) を示せ。

$G=\{g_1, \cdots, g_t\}$, $\tilde{G} = \{\tilde{g}_1, \cdots, \tilde{g}_{t'}\}$ とする。monomial order に従って、$g_1 \geq g_2 \geq \cdots$, $\tilde{g}_1 \geq \tilde{g}_2 \geq \cdots$ と仮定して良い。

$G$, $\tilde{G}$ はグレブナ基底だから $\langle \mathrm{LT}(G) \rangle = \langle \mathrm{LT}(\tilde{G}) \rangle = \langle \mathrm{LT}(I) rangle$.

$\mathrm{multideg}(\mathrm{LT}(g_1)) = \alpha_1$,  $\mathrm{multideg}(\mathrm{LT}(\tilde{g}_1)) = \tilde{\alpha}_1$ とする。

$$LT(\tilde{g}_1) = \sum_i f_i \mathrm{LT}(g_i)$$
と書けるから、$\tilde{\alpha}_1 \geq \alpha_1$ 逆も同様に言えるから $\alpha_1 \geq \tilde{\alpha}_1$ よって $\tilde{\alpha}_1 = \alpha_1$ である。LCは全て$1$ゆえ$\tilde{\mathrm{LT}(g_1)} = \mathrm{LT}(g1)$. $\mathrm{LT}(G)-\mathrm{LT}(g_1)$, $\mathrm{LT}(\tilde{G})-\mathrm{LT}(\tilde{g})_1$ について同様に議論でき、$\mathrm{LT}(G)=\mathrm{LT}(\tilde{G})$.

b. $G$ と $\tilde{G}$ が同じ数の要素を含む事を示せ。

a. より LT($G$) と LT($\tilde{G}$) は同じ数の元を持つ事が判る。仮に $| \tilde{G} | \;\gt \; | G |$  とすると、$\tilde{G}$ には LT が等しい事なる元が存在することになるが、それは minimal Groebner basis であることに矛盾する。よって$| \tilde{G} | = | G |$ .

Exercise 13.

$F$ がグレブナ基底で無い場合は、$F=(f_1, \cdots,f_s)$ を順序付きタプルと考える必要がある。
$\bar{f}^F = 0$ ならば $f = \sum_i h_i f_i$ と書ける。このとき、$F' = F \cup \tilde{f}$ とすると、$f = \sum_i h_i f_i + 0 \cdot \tilde{f}$ ゆえ $\bar{f}^{F'} = 0$.