[IVA] Chapter 2, Section 2, Exercise 1,7

Exercise 1.

a. $f(x,y,z) = 2x + 3y + z + x^2 - z^2 + x^3$

lex: $x^3 + x^2 + 2x + 3y - z^2   + z$, $\mathrm{LM}(f) = x^3$, $\mathrm{LT}(f) = x^3$, $\mathrm{multideg}(f) = (3,0,0)$
grlex: $x^3 + x^2 - z^2 + 2x + 3y + z$, $\mathrm{LM}(f) = x^3$, $\mathrm{LT}(f) = x^3$, $\mathrm{multideg}(f) = (3,0,0)$
grevlex: $x^3 - z^2 + x^2 + z + 3y + 2x$, $\mathrm{LM}(f) = x^3$, $\mathrm{LT}(f) = x^3$, $\mathrm{multideg}(f) = (3,0,0)$

b. $f(x,y,z) = 2x^2y^8 - 3x^5yz^4 + xyz^3 - xy^4$

lex : $-3x^5yz^4 + 2x^2y^8  - xy^4 + xyz^3$, $\mathrm{LM}(f) = x^5yz^4$, $\mathrm{LT}(f) = -3x^5yz^4$, $\mathrm{multideg}(f) = (5,1,4)$
grlex : $-3x^5yz^4 + 2x^2y^8 - xy^4 + xyz^3$, $\mathrm{LM}(f) = x^5yz^4$, $\mathrm{LT}(f) = -3x^5yz^4$, $\mathrm{multideg}(f) = (5,1,4)$
grevlex : $2x^2y^8 -3x^5yz^4 - xy^4 + xyz^3$, $\mathrm{LM}(f) = x^2y^8$, $\mathrm{LT}(f) = 2x^2y^8$, $\mathrm{multideg}(f) = (2,8,0)$

Exercise 7.

$>$ が monomial order であるとする。

a. $\alpha > 0$ for all $\alpha \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n$ を示せ。

ある $\beta = (\beta_1, \cdots, \beta_n) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n$ が存在して $0 > \beta$ と仮定する。すると $0 + \beta > \beta + \beta$ となるから$\beta$を繰り返し加算する事で無限降下列 $\{\beta, 2\beta, 3\beta, \cdots\}$ を作れるがこれは$>$がwell-orderingであることと矛盾する。よって$\forall \beta, \; \beta \geq 0$ である。

b. $x^{\alpha}$ が $x^{\beta}$ を割り切るなら $\alpha \leq \beta$ を示せ。逆は成立するか？

 題意より単項式 $x^{\gamma}$ があって $x^{\beta} = x^{\alpha}x^{\gamma}$ と書けるが、$\beta = \alpha + \gamma$ であり、$\gamma \geq 0$ であるから$\beta \geq \alpha$.

成立しない。反例は例えば $x^{\alpha}=x, \; x^{\beta}=y^2$

c. $\alpha \in  \mathbb{Z}_{\geq 0}^n$ なら$\alpha$ が $\alpha + \mathbb{Z}_{\geq 0}^n$ の最小元である事を示せ。

任意の $\beta \in \mathbb{Z}_{\geq 0}^n$ に対して、$\beta \geq 0$ より $\alpha + \beta \geq \alpha$. よって $\alpha$ は最小元。