[IVA] Chapter 1, Section 1, Exercise 4

Ideals, Varieties, and Algorithms の演習問題。

Chapter1, Section 1, Exersise 4: Let $F$ be a finite field with $q$ elements.  Adapt the argument of Exersise 3 to prove that $x^q - x$ is a nonzero polynomial in $F\left[x\right]$ which vanishes at every point of $F$.  This shows that Proposition 5 fails for all finite fields.

解答：
$F$ は要素数 $q$ の有限体であるから、$F - \left\{0\right\}$ は要素数 $q - 1$ の有限群となることは、体の定義より明らか。
$F - \left\{0\right\}$ の任意の要素 $x$ に対して、$x$ の位数が $q - 1$ の約数であることはラグランジュの定理より明らか。
すると前問 3b より、$x \neq 0$ ならば $x^{q-1} = 1$ より $x^q - x = 0$.
同様に $x = 0$ なら $x^q - x = 0$.
よって全ての $x \in F$ に対して $f(x) = x^q - x \; \in \; F_p\left[x\right]$ は零となる。