[Math] Memo

twitter 上で出ていた問題を考えてみた。

赤黒のルーレットを100回行なったとき、５回連続で同じ色が出ない確率を求めよ、という問題。
$n$回行なったときの上記の確率を$p_n$とする。
初回の色をA、Aでない色をBとするとき、2回目以降のパターンが

• AAAA -> NGケース $\frac{1}{16} \times 0$
• AAAB -> $\frac{1}{16} p_{n-4} =$ AAAB というパターンが起きる確率 x B以降OKな確率
• AAB -> $\frac{1}{8} p_{n-3}$
• AB -> $\frac{1}{4}p_{n-2}$
• B -> $\frac{1}{2} p_{n-1}$ 

よって $p_n = \frac{1}{2}p_{n-1} + \frac{1}{4}p_{n-2} + \frac{1}{8}p_{n-3} + \frac{1}{16}p_{n-4}$
明らかに$p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 1$
あとは$p_5, \; p_6, \; \cdots$ と順次数値計算すると $p_{100}$ = 0.028310329886357316 となる。つまり97% ぐらいの確率で、５連続パターンはどこかで発生する。