\begin{eqnarray}
x + 2y - 2z + w & = & -1 \\
x + y + z - w & = & 2
\end{eqnarray}
変形して
\begin{eqnarray}
x + 2y & = & -2z - w - 1 \\
x + y & = & -z + w + 2
\end{eqnarray}
解いて
\begin{eqnarray}
x & = & -4z + 3w + 5 \\
y & = & 3z - 2w - 3
\end{eqnarray}
Exercise 7.
$\mathbb{R}^n$ の$x_n$軸上の点 $(0, \cdots, 0, 1)$ から $x_1 \cdots x_{n-1}$ 超平面上の点 $(u_1, \cdots, u_{n-1}, 0)$ を通る様に伸ばした直線と、超球面 $x_1^2 + \cdots x_n^2 = 1$ との交点の座標を求めると、
\begin{eqnarray}
x_i &=& \frac{u_i}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}t \;\; (1 \leq i \leq n-1) \\
x_n &=& \frac{-1}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}t + 1
\end{eqnarray}
解いて $t=0, 2$ だが前者は自明な解であり、求めるものは後者。よって
\begin{eqnarray}
x_i &=& \frac{2 u_i}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1} \;\; (1 \leq i \leq n-1) \\
x_n &=& \frac{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 - 1}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}
\end{eqnarray}
Exercise 13.
x & = & -4z + 3w + 5 \\
y & = & 3z - 2w - 3
\end{eqnarray}
Exercise 7.
$\mathbb{R}^n$ の$x_n$軸上の点 $(0, \cdots, 0, 1)$ から $x_1 \cdots x_{n-1}$ 超平面上の点 $(u_1, \cdots, u_{n-1}, 0)$ を通る様に伸ばした直線と、超球面 $x_1^2 + \cdots x_n^2 = 1$ との交点の座標を求めると、
\begin{eqnarray}
x_i &=& \frac{u_i}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}t \;\; (1 \leq i \leq n-1) \\
x_n &=& \frac{-1}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}t + 1
\end{eqnarray}
解いて $t=0, 2$ だが前者は自明な解であり、求めるものは後者。よって
\begin{eqnarray}
x_i &=& \frac{2 u_i}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1} \;\; (1 \leq i \leq n-1) \\
x_n &=& \frac{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 - 1}{u_1^2 + \cdots + u_{n-1}^2 + 1}
\end{eqnarray}
Exercise 13.
$$x = 1 + u - v$$
$$y = u + 2v$$
$$z = -1 -u + v$$
整頓して
$$(x,y,z) = (1,0,-1) + u(1,1,-1) + v(-1,2,1)$$
$$(1,1,-1) \times (-1,2,1) = (3, 0, 3)$$
よって求める平面の法線ベクトルは $(3,0,3)$ に平行な $(1,0,1)$ と取れば良く、点$(1,0,-1)$ を通るため、求める方程式は $x-z=2$
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