[Math] Memo

twitter 上で出ていた問題を考えてみた。

赤黒のルーレットを100回行なったとき、５回連続で同じ色が出ない確率を求めよ、という問題。
$n$回行なったときの上記の確率を$p_n$とする。
初回の色をA、Aでない色をBとするとき、2回目以降のパターンが

• AAAA -> NGケース $\frac{1}{16} \times 0$
• AAAB -> $\frac{1}{16} p_{n-4} =$ AAAB というパターンが起きる確率 x B以降OKな確率
• AAB -> $\frac{1}{8} p_{n-3}$
• AB -> $\frac{1}{4}p_{n-2}$
• B -> $\frac{1}{2} p_{n-1}$ 

よって $p_n = \frac{1}{2}p_{n-1} + \frac{1}{4}p_{n-2} + \frac{1}{8}p_{n-3} + \frac{1}{16}p_{n-4}$
明らかに$p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 1$
あとは$p_5, \; p_6, \; \cdots$ と順次数値計算すると $p_{100}$ = 0.028310329886357316 となる。つまり97% ぐらいの確率で、５連続パターンはどこかで発生する。

[IVA] Chapter 2, Section 5, Exercise 1, 7, 13

Exercise 1

$g_1 = xy^2 - xz + y$, $\mathrm{LT}(g_1) = xy^2$
$g_2 = xy - z^2$, $\mathrm{LT}(g_2) = xy$

$g_3 = x-yz^4$, $\mathrm{LT}(g_3) = x$

lex 順序で考えるから$x$ の次数が $0$ であるような $g$ を作れば良い。
$g = -g_2 + y g_3 = -xy+z^2 + y(x-yz^4) = z^2 - y^2z^4$ とすると $\mathrm{LT}(g) = y^2z^4$.
$g \in I = \langle g_1, g_2, g_3 \rangle$ であるが $\mathrm{LT}(g) \notin  \langle \mathrm{LT}(g_1), \mathrm{LT}(g_2), \mathrm{LT}(g_3) \rangle$

Exersise 7

$g_1 = x^4y^2 - z^5$, $\mathrm{LT}(g_1) = x^4y^2$
$g_2 = x^3y^3 -1$, $\mathrm{LT}(g_2) = x^3y^3$

$g_3 = x^2y^4-2z$, $\mathrm{LT}(g_3) = x^2y^3$

$g = yg_2 - xg_3 = 2xz-y$ は $g \in I$ ゆえ $2xy \in \mathrm{LT}(I)$.

しかし $2xy \notin \langle x^4y^2, x^3y^3, x^2y^4 \rangle$ ゆえグレブナー基底ではない

Exercise 13

Exercise 1-4-14 の結果を用いると、$I(V_1) \subset I(V_2) \subset I(V_3) \subset \cdots$ に対して、$\exists N \geq 1, \; \mathrm{s.t.} \; I(V_N) = I(V_{N+1}) = \cdots$ が存在する事と同値。

これは定理7より明らか。