Exercise 1
I = \{0\} なら、g=0, r=f として終わり。
I \neq \{0\} とする。Section 5 Corollary 6 よりIはグレブナー基底 G=\{g_1, g_2, \cdots, g_t\} を持ち、グレブナー基底の定義より、\langle \mathrm{LT}(g_1), \cdots, \mathrm{LT}(g_t) \rangle = \langle \mathrm{LT}(I) \rangle.
すると Section 6 Proposition 1 の前提を見たいしているから成立。
Exercise 7
S(f,g) = \frac{x^\gamma}{\mathrm{LT}(f)}f - \frac{x^\gamma}{\mathrm{LT}(g)}g
x_\gamma = \mathrm{LCM}(\mathrm{LM}(f), \mathrm{LM}(g))
f = a_\alpha x^\alpha + \sum_{\alpha' < \alpha} a_{\alpha'} x^{\alpha'},
g = a_\beta x^\beta + \sum_{\beta' < \beta} a_{\beta'} x^{\beta'} と書けるから
S(f,g) = \frac{x^\gamma}{a_\alpha x^\alpha}( a_\alpha x^\alpha + \sum_{\alpha' < \alpha} a_{\alpha'} x^{\alpha'}) - \frac{x^\gamma}{a_\beta x^\beta}( a_\beta x^\beta + \sum_{\beta' < \beta} a_{\beta'} x^{\beta'})
= \sum_{\alpha' < \alpha} \frac{a_{\alpha'}}{a_\alpha} x^{\gamma - \alpha + \alpha'} + \sum_{\beta' < \beta}\frac{a_{\beta'}}{a_\beta} x^{\gamma - \beta + \beta'} = \sum_{\gamma' < \gamma}c_{\gamma'} x^{\gamma'}
よって \mathrm{multideg}(f,g) < \gamma.
